On Solutions of Quasi-Integro Differential Equations in Lp/W – Spaces

"نعتبر التعبيرات شبه التفاضلية من الرتبة n ومرافقاتها بمعاملات مركبة في الفراغ -Lpw. ندرس المعاملات شبه التفاضلية التكاملية والمؤثرات شبه التفاضلية المولدة بمثل هذه التعبيرات وكذلك مرافقتها في الفراغ -Lpw ، ندرس صيغة الحل العام للمعادلة شبه التفاضلية غير المتجانسة، ونبرهن بعض النتائج المتعلقة بحلول المعادلات شبه التفاضلية التكاملية في الفراغ -Lpw ، وكذلك بمساعدة بعض النتائج المساعدة لموضوع البحث، ندرس إمكانية انه تحت شروط مناسبة على الدالة المكاملة F (t,y) تكون حلول المعادلات الشبه التفاضلية غير المتجانسة.
(1)
[τ-λI]γ=wF (t,y)

تكون منتمية إلى الفراغ Lpw (a,b) ⋂ L^∞ (a,b) بشرط أن حلول المعادلات الشبه التفاضلية المتجانسة
(2)
[τ-λI]γ=0 and (τ^+-λ ̅I)z=0
تكون منتمية إلى الفراغ Lpw (a,b) ⋂ L^∞ (a,b) "

"We consider a general quasi-differential expression  of order ո with complex coefficients and its formal adjoint + in the Lpw (a, b) -spaces. We prove some results which are related to the solutions of a general ordinary quasi-integro differential equations in LP-spaces, and we show in the case of one singular end-point and under suitable conditions on the integrand function F (t, y) that all solutions of general quasi-integro differential equation

[τ- λI]γ (t)=wF(t,y)( λ ϵ C)(1)

are in Lpw (a, b) ∩ L^∞ (a, b) (λ ϵ C) provided that all solutions of the homogeneous equations

(τ- λI)u=0 and (τ^+-λ ̅I)z=0 (2)

are in Lpw (a, b) ∩ L^∞ (a, b)."