New Efficient and Accurate Discontinuous Galerkin Methods for Stochastic Differential Equations Arising in Biology, Finance and Mechanical Engineering

نماذج المعادلات التفاضلية العشوائية تلعب دوراً بارزا في طائفة من مجالات التطبيق، بما في ذلك البيولوجيا، الفيزياء والكيمياء، وعلم الأوبئة، الميكانيكا، الإلكترونيات الدقيقة، الاقتصاد، المالية، والعديد من التطبيقات الاخرى، عندما تؤخذ في عين الاعتبار أوجه عدم التيقن أو التأثيرات العشوائية. للأسف، في معظم الحالات، لا تتوفر حلول تحليلية للمعادلات التفاضلية العشوائية ولذلك تصبح الطرق العددية ضرورية لإيجاد حلول عددية تقريبية لها. حيث أن الطرق العددية الموجودة حاليا لحل مثل هذه المعادلات تفتقد للدقة والثبات. ان تطوير دقة وكفاءة هذه الطرق العددية يعتبر حقل بحث جديد في مجال الرياضيات التطبيقية. وفي هذا المشروع نقترح تطوير، تنفيذ، وتحليل طرق عددية ذات كفاءة ودقة عالية باستعمال طريقة جالركين المتقطعة (Discontinuous Galerkin) لحل المعادلات التفاضلية العشوائية الناشئة في مختلف مجالات البيولوجيا، التمويل، والهندسة الميكانيكية. هذه الطرق العددية المذكورة سلفا قد طبقت بنجاح على المعادلات التفاضلية غير العشوائية الناتجة عن طائفة واسعة من التطبيقات. في هذه الدراسة، ونقترح تطبيق نظير لطريقة جليركين المتقطعة على المعادلات التفاضلية العشوائية. على وجه الخصوص، سوف نركز على تطبيق المعادلات التفاضلية العشوائية الناشئة في مجالات مختلفة، ولا سيما في ديناميكيات السوائل، علم الأحياء، والمالية. والهدف من هذه الدراسة بناء طرق عددية فعالة ومستقرة لتقريب العديد من النماذج الهامة مثل نموذج بلاك-شولز. وسوف نقوم بالتنفيذ الكامل والتحليل لهذه الطريقة الجديدة كما سنقوم بإجراء التجارب العددية لإظهار التقارب بين الخطط المقترحة. وسوف تستخدم هذه المنحة لتوليد النتائج الأولية التي سيتم استخدامها لاحقا للحصول على تمويل أبحاث أخرى من مؤسسة الكويت للتقدم العلمي وغيرها من الوكالات.

Stochastic differential equation (SDE) models play a prominent role in a range of application areas, including biology, physics, chemistry, epidemiology, mechanics, microelectronics, economics, finance, and many others, when uncertainties or random influences (called noises), are taken into account. Unfortunately, in most cases, analytic solutions of SDEs are not available and we are forced to use numerical methods to approximate their solutions. Existing numerical methods for solving such equations are of low accuracy and poor stability. The development of accurate, efficient, and stable numerical methods for SDEs is a young field of research in mathematics. In this project, we propose to develop, implement, and analyze new high-order efficient and accurate discontinuous Galerkin (DG) finite element methods for solving SDEs arising in various fields of biology, engineering, and finance. The DG method have been successfully applied to deterministic (no stochastic) differential equations arising from a wide range of applications. In this study, we propose to apply a stochastic analogue of the deterministic DG finite element method to SDEs. In particular, we will focus on application to SDEs arising in various applications, especially in biology, finance, and mechanical engineering. The goal is to construct efficient and stable numerical methods to approximate many important SDE models such as the standard stochastic SIR epidemic model, the famous stock-price stochastic financial model, and the mechanical vibration model. Full implementation details and analysis will be provided, including codes. Numerical experiments will be performed to show the convergence of the proposed schemes.