Robust Numerical Methods for Solving a Wide Range of Problems in Engineering

تشكل طرق جالركين المتقطعة ) DG ( فئة من الطرق العددية عالية الترتيب لحل المعادلات التفاضلية الجزئية فهي تجمع بين العديد من الميزات الجذابة للعناصر المحدودة وطرق الحجم المحدودة. تم تطبيق مخططات DG بنجاح عى العديد من المشكلات الناشئة عن مجموعة واسعة من التطبيقات. في هذا المشروع، نقترح تصميم وتحليل وتنفيذ طرق رقمية جديدة لحل اثنين من المعادلات التفاضلية الجزئية الهامة متعددة الأبعاد الناشئة عن الفيزياء والهندسة: معادلة انتشار الحمل الحراري ومعادلة الأمواج. لكل مسألة، نعتزم )أ( التحقيق في خصائص التقارب الفائق في حل طرق جالركين المتقطعة DG ، )ب( استكشاف استراتيجيات مختلفة فعالة من الناحية الحسابية، لتطوير تقديرات الخطأ اللاحقة )ج( انشاء حلول تقريبية دقيقة بعد المعالجة، و )د( استخدام مقدرات الأخطاء الخلفية لتصميم أساليب عددية عالية التكيفية و فعالة. سيتم التحقيق في العديد من جوانب ظاهرة التقارب الفائق، بما في ذلك تأثيرات التدفقات العددية، والظروف الأولية والحدود ، ومساحات العناصر المحدودة، وتقدير الوقت ، وخطط التثبيت، وهيكل الشبكة. يخصص هذا المشروع أيضًا لاستنباط ودراسة الطرق العددية الفعالة من الناحية النظرية والحسابية لحل عدد من المعادلات التفاضلية الجزئية الهامة الناتجة عن ديناميكيات الموائع الحسابية والتطبيقات الأخرى. سنركز أيضًا عى تحسين المخططات العددية التي تخدم أغراضًا مختلفة مثل الحد من السلوك التذبذب للأنظمة العددية. ستوفر هذه المخططات خطوة إلى الأمام في التقدم نحو تطوير أساليب عددية دقيقة وعالية الدقة لهذه المعادلات التفاضلية الجزئية المفيدة التي تم إجراؤها عى مدار العشرين عامًا الماضية. البحث هنا يهدف أساسا لتصميم خوارزميات دقيقة وفعالة لاستخدامها في بيئات الكمبيوتر الحالية والمستقبلية. وسيتم استخدام هذه المنحة لتوليد النتائج الأولية التي سيتم استخدامها لاحقا للحصول عى تمويل أبحاث أخرى من مؤسسة الكويت للتقدم العلمي وغيرها من الوكالات.

Discontinuous Galerkin (DG) methods form a class of high order numerical methods for solving partial differential equations (PDEs). They combine many attractive features of the finite element and finite volume methods. DG schemes have been successfully applied to many problems arising from a wide range of applications. In this proposal, we propose to design, analyze, and implement new numerical methods for solving two important multi-dimensional PDEs arising from physics and engineering: convection-diffusion and wave problems. For each problem, we intend to (a) investigate the superconvergence properties of the DG solution, (b) explore various strategies to develop computationally efficient a posteriori error estimates, (c) locally post-process the approximate solution in order to obtain an accurate approximation, and (d) use the a posteriori error estimators to design efficient adaptive high order numerical methods. Several aspects of the superconvergence phenomena, including the effects of numerical fluxes, initial and boundary conditions, finite element spaces, time discretization, stabilization schemes, and mesh structure will be investigated. This project is also devoted to devising and studying, theoretically as well as computationally, efficient numerical methods for numerically solving some important PDEs arising from computational fluid dynamics and other applications. We will also focus on improving numerical schemes that serve different purposes like reducing the oscillatory behavior of the numerical schemes. These schemes will provide a forward step in the very slow progress toward the development of efficient, high order accurate numerical methods for these useful PDEs that has been made over the past twenty years. The research here is central to the design of accurate and efficient algorithms for use in present and future computer environments. This grant will be used to generate preliminary results which will be later used to seek for other research funding from Kuwait Foundation for the Advancement of Sciences (KFAS) and other agencies.