On the Construction of Certain Chevalley-Groups

"قدمت الباحثة بناءً مُبسطاً لجبريات Lie من نوعيات E6(K) لحقول K ذات مميز 2 )مرجع البحث رقم (3. مُثلت جبريات Lie كجبريات جزئية من End (Ak)، حيث Ak هو فضاء اتجاهي ذا بعد 27 على K. إن بناء الشكل الحقيقي المتراص لهذا النوع من جبريات Lie تم انجازه من قبل R. Wilson في )مرجع البحث رقم 15) كما وأن Aschbacher اتبع منهجاً هندسياً لدراسة بناء Dickson ذو البعد 27 وله الشكل (V,F) على حقول F عشوائية.
إن هدف هذا المشروع هو تقديم بناء واضح لجبريات Lie من النوع F4 (q) كبناء جبري من E6 وكذلك بناء زمر شفليه المقابلة لها والزمر 2E6 (q) حيث q في قوى 2.
إن أهمية هذا المشروع تأتي بأنه قد يقود لبناء يدوي وسهل لزمر FischerFi22 كزمر جزئية من جبر Lie E6 وكما وأن هذا المشروع سيفسح المجال لبعض الباحثين ومساعدي الباحثين للانخراط في هذا المشروع لإجراء حسابات متعلقة بالمشروع والتي ستترك أثر إيجابي على تحسين خبراتهم الرياضية من جانب آخر كما وأن دراسة الزمر السابقة وطريقة تأثيرها على الفضاء ذو البعد 27 سيؤدي إلى فهم أعمق لزمر شفليه من النوع E6 في مراحل متقدمة من المشروع قد يلزم الاستفادة بخبرات بعض الخبراء في هذا المجال مثل الأستاذ Curtis والأستاذ Drozd. "

"In the project reference no.3, S. Aldhafeeri gave an elementary construction of the Lie-algebras of type
E6(K) for fields K of characteristic two. The Lie-algebras are represented as sub algebras of End (AK), where
AK is a 27-dimensional vector space over K.
The construction of the compact real form of the Lie-algebras of type E6 was given by R. Wilson in the
project reference no. 15. In the project reference no. 4 M. Aschbacher followed a geometric approach to
examine the geometry of the 27-dimensional Dickson form (V, F) over arbitrary field F.
The aim of this proposed research is to give an explicit construction of the Lie algebra F4(q) as a sub-Lie-algebra of E6 and the corresponding Chevalley groups E6(q),
F4(q) and 2E6(q), q is a power of 2. The importance of this proposed research comes from the following:
• This project could lead to construct by hand the triple cover of the sporadic simple groupFi22 as a subgroup of the classical modular Lie-algebra of type E6.
• A team of postdocs and teaching assistants will be involved in the computations needed for the construction and collection of the material (papers) related to the project; this will surely help them to get firsthand
experience in research in Mathematics.
• The Chevalley groups of exceptional type E6(q), and its twisted versions are less well-known; hence, the
study of the above groups via their action on the 27-dimensional module could enhance our studying for
this type of groups.
At certain stages of the project, consultation with Professor R. Curtis at Birmingham University and Professor Yuriy Drozd at National Academy of Sciences, Kiev-Ukraine is necessary in this regard."